Materi dan Contoh Soal Fungsi Pembangkit
FUNGSI PEMBANGKIT
FUNGSI PEMBANGKIT
Fungsi pembangkit (generating function) dari sebuah fungsi numerik
an=(a0, a1, a2,… , ar, … )
adalah sebuah deret tak hingga
A(z) = a0 + a1 z + a2 z2 + a3 z3 + … + an zn + … .
Pada deret tersebut, pangkat dari variabel z merupakan indikator sedemikian
hingga koefisien dari zn adalah harga fungsi numerik pada n. Untuk sebuah fungsi
numerik an digunakan nama A(z) untuk menyatakan fungsi pembangkitnya.
Contoh 6.1.
Diketahui fungsi numerik gn = 3n , n 0. Fungsi numerik tersebut dapat pula
ditulis sebagai gn = (1, 3, 32, 33, … ).
Fungsi pembangkit dari fungsi numerik gn tersebut adalah
G(z) = 1 + 3 z + 32 z2 + 33 z3 + … 3n zn + …
yang dalam bentuk tertutup dapat ditulis sebagai G(z) =
1 3z
1
Jika fungsi numerik c merupakan jumlah dari fungsi numerik a dan b, maka
fungsi pembangkit dari fungsi numerik c tersebut adalah C(z) = A(z) + B(z), dimana
A(z) merupakan fungsi pembangkit dari fungsi numerik a dan B(z) adalah fungsi
pembangkit dari fungsi numerik b.
Contoh 6.2.
Diketahui fungsi numerik gn = 3n , n 0 dan fungsi numerik hn = 2n, n 0.
Jika jn = gn + hn , maka J(z) =
1 3z
1
+
1 2z
1
yang dapat pula ditulis sebagai
J(z) =
2 1 5 6
2 5
z z
z
36
Contoh 6.3.
Diketahui fungsi pembangkit dari fungsi numerik a adalah A(z) =
2 1 4
2
z
.
Fungsi pembangkit tersebut dapat ditulis sebagai A(z) =
1 2z
1
+
1 2z
1
.
Dengan demikian diperoleh fungsi numerik an :
an = 2n + (-2)n , n 0
atau dapat ditulis sebagai
an =
n genap
n ganjil
n
1 2
0
Jika A(z) merupakan fungsi pembangkit dari fungsi numerik an, maka
z
i
A(z) adalah fungsi pembangkit dari S
i
a , untuk i bilangan bulat positif.
Contoh 6.4.
Diketahui fungsi numerik gn = 3n , n 0.
Fungsi pembangkit dari bn = S
6
g adalah B(z) = z
6 (
1 3z
1
)
yang dapat pula ditulis sebagai B(z) =
z
z
1 3
6
Jika A(z) merupakan fungsi pembangkit dari fungsi numerik an, maka
z
-i
(A(z) – a0 – a1 z – a2 z2 - … - ai - 1 z
i -1
) adalah fungsi pembangkit dari S
-i
a ,
untuk i bilangan bulat positif.
Contoh 6.5.
Diketahui fungsi numerik gn = 3n , n 0.
Fungsi pembangkit dari cn = S
-4
g adalah
C(z) = z
-4
(G(z) – g0 – g1 z – g2 z2 – g3 z3 )
C(z) = z
-4
(
1 3z
1
- 1 – 3 z – 32 z2 – 33 z3 )
37
Jika A(z) merupakan fungsi pembangkit dari fungsi numerik an dan
fungsi numerik bn = a, maka B(z) =
z
1 (A(z) – a0) – A(z).
Contoh 6.6.
Diketahui fungsi numerik gn = 3n , n 0.
Fungsi pembangkit dari dn = g adalah
D(z) =
z
1 (G(z) – g0) – G(z).
D(z) =
z
1 (
1 3z
1
- 1) –
1 3z
1
Jika A(z) merupakan fungsi pembangkit dari fungsi numerik an dan
fungsi numerik cn = a, maka C(z) = A(z) – z. A(z).
Contoh 6.7.
Diketahui fungsi numerik gn = 3n , n 0.
Fungsi pembangkit dari en = g adalah
E(z) = G(z) – z. G(z) =
1 3z
1
–
z
z
1 3
E(z) =
z
z
1 3
1
Soal Latihan 6.
1. Tentukan fungsi pembangkit dari ar = 2 + 3
r+1
.
2. Tentukan fungsi pembangkit dari fungsi ar =
- 2 jika r ganjil
jika r genap
r
r
2
3. Tentukan fungsi numerik dari fungsi pembangkit
a. A(z) =
1 2z
2
b. B(z) =
z
z
1 2
2
c. C(z) =
2
2
4 4
1
z z
Komentar
Posting Komentar