Materi dan Contoh Soal Solusi Homogen Dari Relasi Rekurensi
SOLUSI HOMOGEN DARI RELASI REKURENSI
SOLUSI HOMOGEN DARI RELASI REKURENSI
Solusi homogen dari sebuah relasi rekurensi linier dapat dicari dengan mengambil harga f(n)=0. Solusi homogen dari sebuah persamaan diferensial linier dengan koefisien konstan dinyatakan dalam bentuk An , dimana adalah akar karakteristik dan A adalah konstanta yang harganya akan ditentukan kemudian untuk memenuhi syarat batas yang diberikan. Dengan substitusi bentuk An kepada an pada persamaan homogen C0 an + C1 an-1 + C2 an-2 + … + Ck an-k = 0 , maka diperoleh
C0 An + C1 An-1 + C2 An-2 + … + Ck An-k = 0.
Dengan penyederhanaan pada persamaan tersebut, maka diperoleh
C0 n + C1 n-1 + C2 n-2 + … + Ck n-k = 0
Persamaan ini merupakan persamaan karakteristik dari persamaan diferensial yang diberikan. Jika, bila adalah akar karakteristik dari persamaan karakteristik ini, maka An akan memenuhi persamaan homogen. Jadi, solusi homogen yang dicari akan berbentuk An.
Bila persamaan karakteristik memiliki sebanyak k akar karakteristik berbeda (1 2 … k) , maka solusi homogen dari relasi rekurensi yang dimaksud dinyatakan dalam bentuk
an(h) = A1 1n + A2 2n + … + Ak kn
dimana i adalah akar karakteristik dari persamaan karakeristik yang diperoleh, sedangkan Ai adalah konstanta yang akan dicari untuk memenuhi kondisi batas yang ditentukan.
Contoh 5.2.
Tentukan solusi homogen dari relasi rekurensi bn + bn-1 – 6 bn-2 = 0 dengan kondisi batas b0 = 0 , b1 = 1 .
Penyelesaian :
Relasi rekurensi tersebut adalah relasi rekurensi homogen, karena f(n)=0.
31
Persamaan karakteristik dari relasi rekurensi bn + bn-1 – 6 bn-2 = 0
adalah 2 + - 6 = 0 atau ( + 3) ( - 2) = 0
hingga diperoleh akar-akar karakteristik 1 = -3 dan 2 = 2.
Oleh karena akar-akar karakteristiknya berbeda, maka solusi homogennya
berbentuk bn
(h) = A1 1
n + A2 2
n bn
(h) = A1 (-3)n + A2 . 2n.
Dengan kondisi batas b0 = 0 dan b1 = 1 , maka
b0
(h) = A1 (-3)0 + A2 . 20 0 = A1 + A2 .
b1
(h) = A1 (-3)1 + A2 . 21 1 = -3 A1 + 2 A2 .
bila diselesaikan maka akan diperoleh harga A1 = (-1/5) dan A2 = 1/5 ,
sehingga jawab homogen dari relasi rekurensi bn + bn-1 – 6 bn-2 = 0 adalah
bn
(h) =
5
1
(-3)n +
5
1
. 2n
Jika akar karakteristik 1 dari persamaan karakteristik merupakan akar
ganda yang berulang sebanyak m kali, maka bentuk solusi homogen yang sesuai
untuk akar ganda tersebut adalah
(A1 . nm-1 + A2 . nm-2 + … + Am-2 n2 + Am-1 . m + Am ) 1
n
dimana Ai adalah konstanta yang nantinya akan ditentukan untuk memenuhi
kondisi batas yang ditentukan.
Contoh 5.3.
Tentukan solusi dari relasi rekurensi an + 4 an-1 + 4 an-2 = 2n .
Penyelesaian :
Relasi rekurensi homogen : an + 4 an-1 + 4 an-2 =0.
Persamaan karakteristiknya adalah 2 + 4 + 4 = 0
( + 2) ( + 2) = 0
hingga diperoleh akar-akar karakteristik 1 = 2 = -2 , m = 2,
Oleh karena akar-akar karakteristiknya ganda,
maka solusi homogennya berbentuk an
(h) = (A1 nm-1 + A2 nm-2) 1
n ,
an
(h) = (A1 n + A2 ) (-2)n
32
Contoh 5.4.
Tentukan solusi homogen dari relasi rekurensi
4 an - 20 an-1 + 17 an-2 – 4 an-3 = 0.
Penyelesaian :
Persamaan karakteristiknya : 4 3 - 20 2 + 17 - 4 = 0
akar-akar karakteristiknya ½ , ½ dan 4
solusi homogennya berbentuk an(h) = (A1 n + A2 ) (½)n + A3 . 4n
Soal Latihan 5.2.
1. Tentukan akar karakteristik dari relasi rekurensi an = 6 an-1 .
2. Tentukan akar karakteristik dari relasi rekurensi an = an-1 + 3 an-2 .
3. Tentukan solusi homogen dari relasi rekurensi berikut :
a. an – 7 an-1 + 10 an-2 = 0 dengan syarat batas a0 = 0 dan a1 = 3.
b. an – 4 an-1 + 4 an-2 = 0 dengan syarat batas a0 = 1 dan a1 = 6.
c. an + 6 an-1 + 9 an-2 = 3 dengan syarat batas a0 = 1 dan a1 = 1.
d. an - 2 an-1 + 2 an-2 – an-3 = 0 dengan a0 = 1, a1 = 1 dan a2 = 1 .
4. Diketahui a0 = 0 , a1 = 1 , a2 = 4 , a3 = 12 memenuhi relasi rekurensi
ar + C1 ar-1 + C2 ar-2 = 0. Tentukan fungsi ar .
Komentar
Posting Komentar