Materi dan Contoh Soal Struktur Aljabar Operasi Biner Matematika Diskrit

STRUKTUR ALJABAR 

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Sebuah sistem dimana terdapat sebuah himpunan dan satu atau lebih dari satu operasi n-ary, yang didefinisikan pada himpunan tersebut, dinamakan sistem aljabar. Selanjutnya, sebuah sistem aljabar akan dinyatakan dengan (S,f1 ,f2 ,f3 ,...,fn) dimana S sebuah himpunan tidak kosong dan f1 , f2 , ...., fn operasi-operasi yang didefinisikan pada S. Sebagai contoh, (Z,+) adalah sebuah sistem aljabar yang dibentuk oleh himpunan bilangan bulat Z dan operasi penjumlahan biasa ; (Z,+,x) adalah sebuah sistem aljabar yang dibentuk oleh himpunan bilangan bulat dan dua buah operasi biner.

Sistem aljabar yang termasuk dalam pokok bahasan Matematika Diskrit yang akan diberikan adalah sistem aljabar satu operasi biner dan sistem aljabar dua operasi biner. Sebelum melihat jenis-jenis sistem aljabar dan konsep-konsep yang berkaitan dengannya, kita akan tinjau lebih dahulu operasi biner dan sifat-sifat operasi biner.

1.1. OPERASI BINER

Operasi biner pada himpunan tidak kosong S adalah pemetaan dari S x S kepada S. Notasi yang digunakan untuk menyatakan operasi biner adalah +, x, ,  ,  ,  , dan sebagainya. Hasil dari sebuah operasi, misalnya  , pada elemen a dan b akan ditulis sebagai a  b.

Contoh 1.1.

Operasi berikut adalah beberapa contoh operasi biner :

-. Operasi pembagian pada bilangan riil.

-. Warna rambut anak yang ditentukan oleh warna rambut orang tuanya.

-. Operasi biner  yang didefinisikan sebagai a  b = a + b – 2ab. 

3

1.2. SIFAT OPERASI BINER

Sifat-sifat yang dimiliki oleh sebuah sistem aljabar nantinya ditentukan oleh sifat-sifat yang dimiliki oleh setiap operasi di dalam sistem aljabar tersebut. Berikut akan diuraikan sifat-sifat yang dapat dimiliki oleh sebuah operasi biner.

Misalkan  dan  adalah operasi biner. Operasi  dikatakan :

-. KOMUTATIF , jika a  b = b  a, untuk setiap a, b.

-. ASOSIATIF, jika (a  b)  c = a  (b  c), untuk setiap a, b, c.

-. Mempunyai :

IDENTITAS, jika terdapat e sedemikian hingga a  e = e  a = a, untuk setiap a.

IDENTITAS KIRI, jika terdapat e1 sedemikian hingga e1  a = a, untuk setiap a.

IDENTITAS KANAN, jika terdapat e2 sedemikian hingga a  e2 = a, untuk setiap

-. Mempunyai sifat INVERS, jika untuk setiap a terdapat a-1 sedemikian hingga a  a-1 = a-1  a = e, dimana e adalah elemen identitas untuk operasi . a-1 disebut invers dari elemen a.

-. DISTRIBUTIF terhadap operasi  , jika untuk setiap a, b, c berlaku a  (b  c ) = ( a  b)  (a  c) dan (b  c )  a = ( b  a)  (c  a).

Contoh 1.2.

Operasi biner penjumlahan biasa adalah sebuah operasi yang bersifat komutatif, karena untuk sembarang bilangan x dan y berlaku x+y = y+x. Operasi penjumlahan bersifat asosiatif, karena untuk sembarang x, y, z berlaku (x+y)+z = x+(y+z). Identitas untuk operasi penjumlahan adalah 0 (nol). Invers penjumlahan untuk sembarang bilangan p adalah –p, karena p+(-p)=0.



Contoh 1.3.

-. Operasi perkalian bersifat distributif terhadap operasi penjumlahan, karena untuk setiap bilangan a, b dan c berlaku a x (b+c) = (a x b) + (a x c) dan (b + c) x a = (b x a) + (c x a).

-. Operasi penjumlahan tidak bersifat distributif terhadap operasi perkalian, karena terdapat p, q dan r dimana p + (q x r)  (p + q) x (p + r). Sebagai contoh 2 + (3 x 4)  (2 + 3) x (2 + 4). 

4

Himpunan S dikatakan tertutup terhadap terhadap operasi biner  , jika untuk setiap a, b  S berlaku a  b  S

Contoh 1.4.

-. Himpunan bilangan bulat Z tertutup terhadap operasi penjumlahan biasa, karena untuk setiap x, y  Z berlaku x + y  Z.

-. Himpunan bilangan bulat Z tidak tertutup terhadap operasi pembagian biasa, karena terdapat 2, 3  Z dimana 2 : 3  Z. 

Soal Latihan 1.1.

1. Tunjukkan bahwa himpunan bilangan genap tertutup terhadap operasi penjumlahan.

2. Tunjukkan bahwa operasi penjumlahan bersifat asosiatif pada himpunan bilangan kelipatan 2.

3. Misalkan A adalah himpunan bilangan asli. Operasi biner  didefinisikan pada himpunan tersebut. Selidiki sifat asosiatif operasi biner yang didefinisikan sebagai berikut : [LIU]

a. a  b = a + b + 3.

b. a  b = a + b – 2ab.

c. a  b = a + 2b.

d. a  b = max (a,b).

4. Misalkan (A,) sebuah sistem aljabar dengan  operasi biner dimana untuk setiap a,b  A berlaku a  b = a. Tunjukkan bahwa  bersifat asosiatif. [LIU]

5. Operasi biner  didefinisikan pada himpunan C = {a, b, c, d, e} dalam tabel berikut :

a. Tentukan b  d, c  d dan (a  d)  c.

b. Apakah operasi  bersifat komutatif ?.

c. Tentukan (bila ada) elemen identitas untuk operasi .

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------