Materi dan Contoh Soal Struktur Sistem Aljabar Kombinatorik (Permutasi dan Kombinasi)
KOMBINATORIK
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
BAB II KOMBINATORIK
2.1. PERMUTASI DAN KOMBINASI
Sebuah permutasi dari sebuah himpunan obyek-obyek berbeda adalah
penyusunan berurutan dari obyek-obyek tersebut.
Contoh 2.1.
Misalkan S = {1, 2, 3}. Susunan 3 1 2 adalah sebuah permutasi dari S.
Susunan 3 2 adalah sebuah permutasi-2 (2-permutation) dari S
Banyak permutasi-r dari himpunan dengan n obyek berbeda dinyatakan
sebagai P(n,r) dimana
P(n,r) = n . (n - 1) . (n - 2) . (n - 3) . ... . (n – r + 1).
Jika r = n , maka
P(n,n) = n . (n - 1) . (n - 2) . (n - 3) . ... . (n – n + 1).
= n . (n - 1) . (n - 2) . (n - 3) . ... . 1
= n !
atau ditulis Pn = n !
Contoh 2.2.
P(8,3) = 8. 7. 6 = 336
=
5.4.3.2.1
8.7.6.5.4.3.2.1
=
(8 3) !
8 !
Rumus umum : n . (n-1) . (n-2) =
(n -3).(n - 4) ... . 2. 1
n .(n -1).(n -2). (n -3).(n - 4) ... . 2. 1
P(n,r) =
(n r) !
n !
14
Sebuah kombinasi-r elemen-elemen dari sebuah himpunan adalah pemilihan
tak berurutan (tanpa memperhatikan urutan) r elemen dari himpunan tersebut.
Contoh 2.3.
Jika S = {1, 2, 3, 4}, susunan { 1, 3, 4 } adalah sebuah kombinasi-3 dari S.
Banyaknya kombinasi-r (r-combinations) dari sebuah himpunan dengan n
obyek berbeda dinyatakan sebagai C(n,r) atau
r
n
C atau
r
n
.
Rumus umum :
! ( ) !
!
r n r
r n
n
C
Jika r = n, maka 1
n n n
n n
n
C
! ( ) !
!
Contoh 2.4.
Misalkan S = {1, 2, 3, 4}.
Kombinasi-4 dari S adalah { 1, 2, 3, 4 } ; C 1
4
4
.
Kombinasi-3 dari S adalah { 1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {2, 3, 4}, {1, 3, 4} ; C 4
3
4
.
Tentukan ....
2
4
C . ....
1
4
C .
Soal Latihan 2.1.
1. Tunjukkan bahwa P(n,n-1) = P(n,n).
2. Nomor telephon internal dalam sebuah kampus terdiri dari lima angka dimana
angka pertama tidak sama dengan nol. Banyaknya nomor telephon berbeda
yang dapat disusun di kampus tersebut adalah ......... .
3. Pada sebuah lingkungan RT, penduduknya berencana menyelenggarakan acara
peringatan kemerdekaan Indonesia. Demi lancarnya kelangsungan acara
tersebut, mereka bersepakat untuk menyusun sebuah kepanitiaan yang
beranggotakan 12 orang. Jika dalam lingkungan tersebut terdapat 16 pasangan
suami istri, berapa pilihan yang mereka miliki untuk membentuk kepanitiaan yang
beranggotakan 4 wanita dan 8 pria ?
15
Soal Latihan 2.2.
1. Sebuah himpunan yang tidak kosong dan mengandung 26 anggota memiliki himpunan bagian yang mengandung 6 anggota sebanyak ............ .
2. Tunjukkan bahwa C(n,n-r) = C(n,r) .
Soal Latihan 2.3.
1. Seorang mahasiswa harus menjawab 8 dari 10 soal ujian Matematika Diskrit.
a. Berapa banyak pilihan yang ia miliki ?
b. Berapa banyak pilihan yang ia miliki jika ia harus menjawab 3 soal pertama.
2. Jika P (n,k) menyatakan permutasi k dari n obyek dan C (n,k) menyatakan kombinasi k dari n obyek , maka pernyataan yang benar adalah :
a. C (n ,k ) – P (n ,k ) = ½ C (n ,k ).
b. C (n ,k ) = P (n ,k ) . P (k ,k ).
c. P (n ,k ) = C (n ,k ) . P (k ,k ).
d. P (n , n – k ) = C (n ,n – k ) P (k ,k ).
2.2. KOMBINASI PADA HIMPUNAN DENGAN PENGULANGAN
Sebuah himpunan disebut himpunan ganda (himpunan dengan pengulangan) jika setiap anggotanya berulang.
Contoh 2.5.
1). A = { 3.a, 2.b, 5.c } adalah sebuah himpunan dari 3 elemen berbeda dengan pengulangan hingga.
2). B = { ~.3, ~.5, ~.7, ~.9 } adalah sebuah himpunan dari empat elemen berbeda dengan pengulangan tak hingga.
3). C = { ~.p, 10.q, 3.r, ~.s } adalah sebuah himpunan dari empat elemen berbeda dengan pengulangan.
16
Misalkan A sebuah himpunan ganda berpengulang tak hingga dengan k
anggota berbeda. Banyaknya kombinasi-r pada A dinyatakan sebagai :
r ! (k 1) !
(k r 1) !
r
k r
1
Contoh 2.6.
Diketahui S = { ~.a } . Banyaknya kombinasi-5 pada S adalah :
1
5 ! (0) !
5 !
5 ! (1 1) !
(1 5 1) !
5
1 5 1
Soal Latihan 2.4.
1. Tentukan kombinasi-5 dari B = { ~.a, ~.b} .
2. Banyaknya kombinasi-8 dari C = { ~.a, ~.b, ~.c } .
3. Banyaknya kombinasi-8 dari himpunan { ~.p, ~.q, ~.r } yang mengandung
paling sedikit 4 buah q adalah ........... .
4. Hitung banyaknya kombinasi 10 dari himpunan { ~.1, ~.2, ~.3, ~.4 } yang
a. mengandung paling sedikit 4 buah 3.
b. mengandung paling sedikit 5 buah 2.
c. mengandung paling sedikit 4 buah 3 dan 5 buah 2.
d. tidak mengandung 2 dan 3.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Komentar
Posting Komentar