Materi dan Contoh Soal Solusi Khusus Dari Relasi Rekurensi

SOLUSI KHUSUS DARI RELASI REKURENSI

SOLUSI KHUSUS DARI RELASI REKURENSI

Pada dasarnya tidak ada satu metode yang dapat menentukan solusi khusus dari sebuah relasi rekurensi linier yang tidak homogen. Untuk menentukan solusi khusus dari sebuah relasi rekurensi linier dengan f(n)  0, akan diberikan beberapa model solusi yang disesuaikan dengan bentuk f(n). Model yang sering digunakan adalah model polinomial atau model eksponensial.

1. Secara umum, jika f(n) berbentuk polinomial derajat t dalam n :

F1 nt + F2 nt-1 + … + Ft n + Ft+1 ,

maka bentuk dari solusi khusus yang sesuai adalah :

P1 nt + P2 nt-1 + … + Pt n + Pt+1

2. Jika f(n) berbentuk n dan  bukan akar karakteristik dari persamaan homogen, maka jawab khusus berbentuk

P n

3. Jika f(n) berbentuk (F1.nt + F2.nt-1 +…+ Ft.n + Ft+1 ).n dan  bukan akar karakteristik dari persamaan homogen, maka bentuk dari solusi khusus yang sesuai adalah :

(P1 nt + P2 nt-1 + … + Pt n + Pt+1 ) n

4. Jika f(n) berbentuk (F1.nt + F2.nt-1 +…+ Ft.n + Ft+1 ).n dan  akar karakteristik yang berulang sebanyak (m-1) kali, maka bentuk dari solusi khusus yang sesuai adalah :

nm-1. (P1 nt + P2 nt-1 + … + Pt n + Pt+1 ) n

34

Contoh 5.5.

Diketahui ar – 7 ar-1 + 10 ar-2 = 3r . Tentukan solusi khusus dari ar.

Penyelesaian :

Diketahui f(r) = 3r .

Oleh karena bentuk dari f(r) tersebut adalah r dan  = 3 bukan akar karakteristik, maka solusi khusus dari relasi rekurensi tersebut berbentuk P3r.

ar = P 3r.

Soal Latihan 5.3.

1. Tentukan solusi khusus dari relasi rekurensi berikut :

a. ar + 5 ar-1 + 6 ar-2 = 3 r2 – 2r + 1.

b. ar – 5 ar-1 + 6 ar-2 = 1.

c. ar – 4 ar-1 + 4 ar-2 = (r + 1) 2r .

2. Tentukan solusi total dari relasi rekurensi :

a. ar – 7 ar-1 + 10 ar-2 = 3r dengan a0 = 0 dan a1 = 1 .

b. ar + 6 ar-1 + 9 ar-2 = 3 dengan a0 = 0 dan a1 = 1 .

3. Tentukan solusi total dari relasi rekurensi :

a. ar – 7 ar-1 + 10 ar-2 = 3r dengan a0 = 0 dan a1 = 1 .

b. ar + 6 ar-1 + 9 ar-2 = 3 dengan a0 = 0 dan a1 = 1 .