Materi dan Contoh Soal Struktur Sistem Aljabar Dua Operasi (Ring, Field, Subring)

SISTEM ALJABAR DUA OPERASI

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1.4. SISTEM ALJABAR DUA OPERASI

Sebuah sistem aljabar dengan dua operasi (S, +, ) dibentuk oleh sebuah himpunan, sebuah operasi aditif ‘+’ dan sebuah operasi multiplikatif ‘’. Sistem aljabar dengan dua operasi yang akan dibahas di sini adalah ring dan field.

1.4.1. RING

Sebuah sistem aljabar (S,+,) adalah sebuah ring jika sifat-sifat berikut dipenuhi :

1. (S, +) merupakan group abel.

2. Himpunan S tertutup terhadap operasi .

3. Operasi  bersifat asosiatif, untuk setiap x, y, z  S berlaku (x  y )  z = x  ( y  z).

4. Untuk setiap x, y, z  S berlaku hukum distributif kiri x ( y + z) = (x  y) + (x  z) dan hukum distributif kanan (y + z)  x = (y  x) + (z  x).

Contoh 1.18.

Sistem aljabar (Z,+,x) merupakan sebuah ring. 

Jika kedua operasi biner pada ring (S,+,) bersifat komutatif, maka ring tersebut merupakan ring komutatif.

Contoh 1.19.

Operasi x pada ring (Z,+,x) bersifat komutatif. Dengan demikian (Z,+,x) merupakan sebuah ring komutatif. 

Jika pada ring (S,+,) terdapat e  S dimana a  e = e  a = a, untuk setiap aS, maka ring tersebut merupakan ring berunitas. Elemen e tersebut merupakan identitas untuk operasi multiplikatif  dan dinamakan unitas. Elemen identitas untuk operasi aditif pada ring (S,+,) disebut elemen nol (zero element).

11

Contoh 1.20.

Ring (Z,+,x) merupakan ring berunitas dengan 1Z sebagai unitas dan 0Z sebagai elemen nol. 

Jika operasi  pada ring (S,+,) bersifat komutatif dan terdapat e  S dimana a  e = e  a = a, untuk setiap aS, maka (S,+,) merupakan ring komutatif berunitas.

Contoh 1.21.

Ring (Z,+,x) merupakan ring komutatif berunitas. 

Jika pada ring berunitas (S,+,), untuk setiap a  S, a bukan elemen nol, terdapat a-1  S sedemikian hingga a  a-1 = a-1  a = e, maka ring tersebut merupakan division ring.

Contoh 1.22.

Ring (Z,+,x) bukan merupakan division ring, karena untuk 2  S invers perkaliannya adalah ½  Z. 

1.4.2. FIELD

Sebuah sistem aljabar (S,+,) adalah sebuah field jika sifat-sifat berikut dipenuhi :

1. (S, +,) merupakan division ring.

2. (S - {0}, ) merupakan group abel, dimana 0 merupakan elemen nol.

Contoh 1.23.

Sistem aljabar (R,+,x) merupakan field (R = himpunan bilangan riil). 

12

1.4.3. SUBRING

Misalkan (S,+,) sebuah ring dan A sebuah himpunan bagian yang tidak kosong dari S. Himpunan A merupakan subring dari ring S, jika (A,+,) merupakan ring.

Contoh 1.24.

Himpunan bilangan bulat Z merupakan himpunan bagian dari himpunan bilangan riil R. Sistem aljabar (R,+,x) merupakan sebuah ring. Oleh karena (Z,+,x) merupakan ring, maka (Z,+,x) merupakan subring dari ring (R,+,x) . 

Soal Latihan 1.4.

1. Nyatakan Benar atau Salah.

______ Setiap field merupakan sebuah ring.

______ Setiap ring memiliki identitas multiplikatif.

______ Perkalian pada sebuah field bersifat komutatif.

______ Penjumlahan pada setiap ring bersifat komutatif.

2. Selidiki apakah sistem aljabar berikut merupakan ring.

a. (Z+, +, x).

b. (Zn , + , x) ; Zn = { p x n  p  Z }.

3. Diketahui (Z, +, x) merupakan sebuah ring. Selidiki apakah himpunan bilangan kelipatan 2 merupakan subring dari ring (Z, +, x).

4. Diketahui M2 = { B  B matriks riil ordo 2x2}. Pada M2 didefinisikan operasi penjumlahan matriks +2 dan operasi perkalian matriks x2. Selidiki sistem aljabar (M2 , +2 , x2 ).

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------