Materi dan Contoh Soal Fungsi Diskrit Numerik
FUNGSI DISKRIT NUMERIK
FUNGSI DISKRIT NUMERIK
4.1. FUNGSI NUMERIK
Sebuah fungsi adalah sebuah relasi biner yang secara unik menugaskan
kepada setiap anggota domain, satu dan hanya satu elemen kodomain. Fungsi
diskrit numerik, atau singkatnya disebut fungsi numerik, adalah sebuah fungsi
dengan himpunan bilangan cacah sebagai domain dan himpunan bilangan riil
sebagai kodomainnya. Fungsi numerik ini menjadi pokok bahasan yang menarik
karena sering digunakan dalam komputasi digital.
Penyajian fungsi numerik pada prinsipnya bisa dilakukan dengan menuliskan
daftar panjang harga-harganya, namun pada prakteknya dibutuhkan penyajian dalam
bentuk yang tidak terlalu panjang. Contoh berikut menampilkan beberapa bentuk
penyajian dari fungsi numerik.
Contoh 4.1.
an = 7n3
+ 1 , n 0.
bn =
3 1 12
2 0 11
n
n n
n ; cn =
2/n n 5, n genap
2 n n 5, n ganjil
2 n 0 n 5
Contoh 4.2.
Seseorang menyimpan uang sejumlah Rp. 10.000.000,- pada bank dengan
tingkat bunga 10% per tahun. Pada akhir dari tahun pertama, jumlah uang
orang tersebut bertambah menjadi Rp. 11.000.000,-. Pada akhir tahun ke-dua,
jumlah uangnya menjadi 12.100.000,- demikian seterusnya. Jika ar
menyatakan jumlah uang pada akhir tahun ke-r, maka fungsi a tersebut
adalah ar = 10.000.000 (1,1)r , r 0.
Berapa jumlah uang orang tersebut setelah 30 tahun ?
24
4.2. MANIPULASI FUNGSI NUMERIK
Jumlah dari dua fungsi numerik adalah sebuah fungsi numerik yang harganya
pada n tertentu sama dengan jumlah harga-harga dari kedua fungsi numerik pada n.
Contoh 4.3.
Jika diketahui an = 2n , n 0, bn = 5 , n 0 dan cn = an + bn ,
maka cn = 2n + 5 , n 0.
Hasil kali (produk) dari dua fungsi numerik adalah sebuah fungsi numerik yang
harganya pada n tertentu sama dengan hasil kali harga-harga dari kedua fungsi
numerik pada n.
Contoh 4.4.
Jika diketahui an = 2n , n 0, bn = 5 , n 0 dan dn = an . bn ,
maka dn = 5(2n) , n 0.
Contoh 4.5.
Misalkan pn =
3 1 12
2 0 11
n
n n
n , qn =
3 n 9
0 0 n 8
n .
Tentukan tn = pn + qn , dan vn = pn . qn .
Jawab :
tn =
2(3 ) 1 n 12
2n 3 9 n 11
2n 0 n 8
n
n
vn =
3 1 n 12
2n. 3 9 n 11
0 0 n 8
2n
n
Misalkan an adalah sebuah fungsi numerik dan i adalah sebuah integer
positif. Kita gunakan S
i
a untuk menyatakan fungsi numerik yang nilainya 0 pada
n = 0,1,…, (i-1) dan nilainya sama dengan a n-i pada n i.
S
i
a =
a n i
n i
n i
0 0 ( 1)
25
Contoh 4.6.
Misalkan bn = 2n , n 0 dan cn = S4b , maka cn =
2 n 4
0 0 n 3
n 4
Misalkan an adalah sebuah fungsi numerik dan i adalah sebuah integer
positif. Kita gunakan S
-i
a untuk menyatakan fungsi numerik yang nilainya sama
dengan a n+i pada n 0.
S
-i
a = a n+i , n 0
Contoh 4.7.
Misalkan bn = 2n , n 0 dan dn = S
-5 b , maka dn = 2n+5 , n 0
Beda maju (forward difference) dari sebuah fungsi numerik an adalah sebuah
fungsi numerik yang dinyatakan dengan a , dimana harga a pada n sama
dengan harga an+1 - an .
a = an+1 - an , n 0.
Beda ke belakang (backward difference) dari sebuah fungsi numerik an
adalah sebuah fungsi numerik dinyatakan dengan a , dimana harga a pada n = 0
sama dengan harga a0 dan harga a pada n 1 sama dengan an - an-1 .
a =
a a n 1
0 n 0
n n 1
.
Contoh 4.8.
Misalkan bn = 2n , n 0 dan en = b, maka en = 2n , n 0
Contoh 4.9.
Misalkan bn = 2n , n 0 dan fn = b, maka fn =
2 n 1
0 n 0
n 1
26
Soal Latihan 4.
1. Diketahui f1 = -2 , f2 = 4 , f3 = -8 , f4 = 10 dst. Tentukan fn .
2. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 15 meter. Bola tersebut selalu memantul
dan mencapai ketinggian sepertiga dari ketinggian sebelumnya. Jika ht
menyatakan ketinggian yang dicapai bola setelah pantulan ke-t, tentukan fungsi
ht tersebut.
3. Diketahui fungsi numerik pn =
2 5 4
2 0 3
n
n
n ,
Tentukan : a. S2 a dan S-2 a.
b. a dan a .
Komentar
Posting Komentar